问题
解答题
设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R），当x=-1时f（x）取得极大值
（1）求函数f（x）的表达式； （2）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-
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答案
（1）将函数y=f（x+1）的图象向右平移一个单位，得到函数y=f（x）的图象，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=a1x3+a3x
∴f′（x）=3a1x2+a3
由题意得：f′(-1)=3a1+a3=0 f (-1)=-a1-a3= 2 3
所以
，f(x)=a1= 1 3 a3=-1
x3-x经检验满足题意1 3
（2）由（1）可得f′（x）=x2-1
故设所求两点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))(x1，x2∈ [-
，2
])2
f′（x1）•f′（x2）=（x12-1）（x22-1）=-1
∵x12-1，x22-1∈[-1，1]
∴
或
-1=-1x 22
-1=-1x 21
-1=1x 21
-1=-1x 22
或x1= 0 x2=± 2 x1=± 2 x2= 0
∴满足条件的两点的坐标为：
（0，0），(
，-2
)或(0，0) ，(-2 3
，-2
)2 3