问题
解答题
设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明
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答案
（Ⅰ）∵Sn是
和an的等差中项，a 2n
∴2Sn=an2+an，且an＞0，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1，
∴2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1，
即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，
即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=1，n≥2，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，且an=n．
（Ⅱ）∵an=n，
则Sn=
，n(n+1) 2
∴
=1 Sn
=2（2 n(n+1)
-1 n
），1 n+1
∴
+1 S1
+1 S2
+…+1 S3 1 Sn
=2[（1-
）+（1 2
-1 2
）+…+（1 3
-1 n
）]1 n+1
=2（1-
）＜2．1 n+1
∴
+1 S1
+…+1 S2
＜2．1 Sn