问题 解答题
已知集合A是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D(D为函数的定义域)等式f(kx)=
k
2
+f(x)
恒成立.
(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合A?请说明理由.
(2)设函数f(x)=logax(a>1)的图象与直线y=
1
2
x
有公共点,试证明f(x)=logax∈A.
答案

(1)∵一次函数f(x)=ax+b(a≠0),∴f(kx)=akx+b,而

k
2
+f(x)=ax+b+
k
2

显然,akx+b和 ax+b+

k
2
不可能恒成立,故一次函数f(x)=ax+b(a≠0)不属于集合A.

(2)设函数f(x)=logax(a>1)的图象与直线y=

1
2
x有公共点,∴方程 logax=
1
2
x 有解 ①.

要使f(x)∈A,则存在常数k,使loga(kx)=

k
2
+logax 成立,即方程 logak=
1
2
k 有解.

而由①可得方程 logak=

1
2
k 有解,可得f(x)=logax∈A.

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