在数列{an}中，a2+1是a1与a3的等差中项，设x=(1，2)，y=(an，

问题解答题

在数列{a_n}中，a₂+1是a₁与a₃的等差中项，设

=(1，2)，

=(an，an+1)，且满足

∥

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项的和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=a_nlog₂（s_n+2），试求数列{b_n}的前n项的和T_n．

答案

（1）因为

=(1，2)，

=(an，an+1)，

∥

，

所以a_n+1=2a_n，数列{a_n}是等比数列，公比为2，

又a₂+1是a₁与a₃的等差中项，

2（a₂+1）=a₁+a₃，即2（2a₁+1）=5a₁，

解得a₁=2，

数列{a_n}的通项公式a_n=2•2^n-1=2ⁿ；

（2）数列{a_n}的前n项的和为S_n=

2×(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，

数列{b_n}满足b_n=a_nlog₂（s_n+2）=2ⁿlog₂（2ⁿ⁺¹-2+2）=2ⁿ•（n+1），

T_n=2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ…①，

①×2得2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹…②，

①-②得，-T_n=2×2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹

=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹+

2×(1-2n)

1-2

=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2

=-n•2ⁿ⁺¹，

数列{b_n}的前n项的和T_n=n•2ⁿ⁺¹．