已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x

问题解答题

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

答案

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，

故f(-x)=

2-x

2-x+1

2x+1

，

又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-

2x+1

，

由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，

所以，f（x）=

2x+1

，0＜x＜1

0，x=0

1+2x

，-1＜x＜0

．

（2）f（x）在（0，1）上单调递增．

证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，

则f(x2)-f(x1)=

2x2

1+2x2

2x1

1+2x1

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，

因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，

所以2x2-2x1＞0，

因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），

故f（x）在（0，1）上单调递增．