已知椭圆C：x2m2+y2=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上

问题解答题

已知椭圆C：

+y2=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）
（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；
（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；
（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m 的取值范围．

答案

（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；

则a=2；椭圆的焦点在x轴上；

则c=

；

则椭圆焦点的坐标为（

，0），（-

，0）；

（2）若m=3，则椭圆的方程为

+y²=1；

变形可得y²=1-

，

|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

8x2

-4x+5；

又由-3≤x≤3，

根据二次函数的性质，分析可得，

x=-3时，|PA|²=

8x2

-4x+5取得最大值，且最大值为25；

时，|PA|²=

8x2

-4x+5取得最小值，且最小值为

；

则|PA|的最大值为5，|PA|^_的最小值为

；

（3）设动点P（x，y），

则|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

m2-1

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；

当x=m时，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

＞0，

则

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；

解得1＜m≤1+

．