椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距

问题解答题

椭圆

=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

S2(x)

x+3

，求函数f（x）的最大值．

答案

（Ⅰ）由题意得，2a=6，∴a=3．

又2c=4

，∴c=2

，b²=a²-c²=1，故椭圆的方程为

+y2=1．

（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-3，0），B（3，0），，则

x02

+y02=1，即

=1-

，则k1=

x0+3

，k2=

x0-3

，即 k1•k2=

-9

，∴k₁•k₂为定值 -

．

（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，则 S(x)=

(6+2x)|y|，且y2=1-

，

于是，f(x)=

S2(x)

x+3

(x+3)2(1-

)

x+3

+x+3 （0＜x＜3），

f′(x)=-

x+1．令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），

当0＜x＜1，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜3，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；

所以f（x）在x=1时取得极大值，也是最大值

．