问题
解答题
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式； （Ⅱ）设曲线C与其在点P1（1，f（1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），线段P1P2与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，求S1的值； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S2，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点Pn（xn，f（xn））处的切线交于另一点Pn+1（xn+1，f（xn+1）），线段PnPn+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为Sn，试求Sn关于n的表达式． |
答案
（Ⅰ）∵三次函数为R上奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c，又f（x）=ax3+cx在x=
处取得极值-3 3
，2 3 9
∴
即f(
)=-3 3 2 3 9 f′(
)=03 3 a(
) 3+c(3 3
)=- 3 3 2 3 9 3a(
) 2+c=0 3 3
得a=1，c=-1，∴f（x）=x3-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲线C在点P1处的切线方程为y=2（x-1）
由
解得x1=1，x2=-2，y=2(x-1) y=x3-x
∴S1=|
x3-x-2(x-1)dx|=|（∫ 1-2
x4 -1 4
x2+2x）3 2
|=| 1-2 27 4
（Ⅲ）f（x）在Pn（xn，f（xn））的切线：
y-（xn3-xn）=（3xn2-1）（x-xn）即y=（3xn2-1）x-2xn3
由
解得x=xn或x=-2xn，y=(3xn2-1)x-2xn3 y=x3-x
∴Pn+1（-2xn，f（-2xn）），xn+1=-2xn，
Sn=|
x3-x-[（3xn2-1）x-2xn3]dx|=|（∫ -2xnxn
x4 -1 4
xn2x2+2xn3x）3 2
|=| -2xnxn
xn427 4
同理得Sn+1=
xn+14，又xn+1=-2xn≠0，∴27 4
=(Sn+1 Sn
)4=16，又S1=xn+1 xn 27 4
∴Sn=
•16n-1=27 4
•16n n∈N*．27 64