已知数列{an}满足a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．（1）证明

问题解答题

已知数列{a_n}满足 a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（2）证明{

}是等差数列；
（3）设S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，求S的值．

答案

（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），

即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2，又 a₂-2a₁=4

∴数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）知，a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴

an+1

2n+1

=1，又

=1，

∴数列{

}是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列．

（3）∵

=n，∴a_n=n•2ⁿ，又 S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，

∴S=2+2•2²+3•2³+…+2010•2²⁰¹⁰①2S=2²+2•2³+3•2⁴+…+2010•2²⁰¹¹②

①-②得-S=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰-2010•2²⁰¹¹=2²⁰¹¹-2-2010•2²⁰¹¹

∴S=2009•2¹⁰¹¹+2．