问题 解答题
在平面直角坐标系xoy中,动点P在椭圆C1
x2
2
+y2=1上,动点Q是动圆C2:x2+y2=r2(1<r<2)上一点.
(1)求证:动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率;
(2)设椭圆C1上的三点A(x1,y1),B(1,
2
2
),C(x2,y2)与点F(1,0)的距离成等差数列,线段AC的垂直平分线是否经过一个定点为?请说明理由.
(3)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值.
答案

(1)证明:设动点P(x0,y0),则

x02
2
+y02=1,

右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为:

(x0-1)2+y02
|x0-2|
=
(x0-1)2+y02
(x0-2)2
=
(x0-1)2+1-
x02
2
(x0-2)2
=
2
2

而a=

2
,c=1,所以离心率e=
2
2

故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率;

(2)由(1)可得|AF|=

2
2
(2-x1),|BF|=
2
2
(2-1)
,|CF|=
2
2
(2-x2)

因为2|BF|=|AF|+|CF|,

所以

2
2
(2-x1)+
2
2
(2-x2)=2×
2
2
(2-1)
,即得x1+x2=2,

因为A,C在椭圆上,故有

x12
2
+y12=1,
x22
2
+y22=1
,两式相减整理得:

kAC=

y2-y1
x2-x1
=-
x2+x1
2(y2+y1)
=-
1
y2+y1

设线段AC的中点(m,n),而m=

x1+x2
2
=1,n=
y1+y2
2

所以与直线AC垂直的直线斜率为kAC=y2+y1=2n,

则AC垂直平分线方程为y-n=2n(x-1),即y=n(2x-1)经过定点(

1
2
,0);

(3)依题意知,直线PQ的斜率显然存在,设直线方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),

由于直线方程PQ与椭圆C1相切,点P为切点,从而有

y1=kx1+m
x12
2
+y12=1
(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 

故△=(4km)2-4×2(m2-1)(2k2+1)=0,从而可得m2=1+2k2,x1=-

2k
m
①,

直线PQ与圆C2相切,则

|m|
1+k2
=r,得m2=r2(1+k2)②,

由①②得k2=

r2-1
2-r2
,且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+(1-
x12
2
)-r2

=1+

x12
2
-r2=1+
2k2
1+2k2
-r2=3-r2-
2
r2
≤3-2
2
=(
2
-1)2
,即|PQ|≤
2
-1,

当且仅当r2=

2
∈(1,4)时取等号,

故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为

2
-1.

问答题 简答题
问答题 简答题