(1)证明:设动点P(x0,y0),则+y02=1,
右焦点的距离与到直线x=2的距离之比为:
===,
而a=,c=1,所以离心率e=,
故动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率;
(2)由(1)可得|AF|=(2-x1),|BF|=(2-1),|CF|=(2-x2),
因为2|BF|=|AF|+|CF|,
所以(2-x1)+(2-x2)=2×(2-1),即得x1+x2=2,
因为A,C在椭圆上,故有+y12=1,+y22=1,两式相减整理得:
kAC==-=-,
设线段AC的中点(m,n),而m==1,n=,
所以与直线AC垂直的直线斜率为k′AC=y2+y1=2n,
则AC垂直平分线方程为y-n=2n(x-1),即y=n(2x-1)经过定点(,0);
(3)依题意知,直线PQ的斜率显然存在,设直线方程为y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由于直线方程PQ与椭圆C1相切,点P为切点,从而有
由得(2k2+1)x12+4kmx1+2(m2-1)=0 ,
故△=(4km)2-4×2(m2-1)(2k2+1)=0,从而可得m2=1+2k2,x1=-①,
直线PQ与圆C2相切,则=r,得m2=r2(1+k2)②,
由①②得k2=,且|PQ|2=|OP|2-|OQ|2=x12+y12-r2=x12+(1-)-r2
=1+-r2=1+-r2=3-r2-≤3-2=(-1)2,即|PQ|≤-1,
当且仅当r2=∈(1,4)时取等号,
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值为-1.