（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

2a2

x2

（x＞0），F′（x）=

1

x

-

4a2

x3

=

x2-4a2

x3

(x＞0)

∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，

∴F（x）的单调递增区间为（2a，+∞）．-----------------------（3分）

（II）H（x）=f（x）+

2g(x)

=lnx+

2a

x

，H′（x）=

1

x

-

2a

x2

≤1(x＞0)，----------------------（5分）

∵2a≥-x²+x，又x²-x≤

1

4

，2a≥-

1

4

，a≥

1

8

．

所以实数a的最小值为

1

8

．--------------------------（8分）

（III） 若p（x）=

1

3

x3+x2+m-

2

3

的图象与q（x）=

3

2

f(x2)=

3

2

lnx2的图象恰有三个不同交点，

即

1

3

x3+x2+m-

2

3

=

3

2

lnx2有三个不同的根，

亦即m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的根．---------------------（10分）

令G（x）=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

，

则G′（x）=

3

x

-x²-2x=

-(x-1)(x2+3x+3)

x

．

当x＜0时G'（x）＜0，所以G（x）单调递减，且当x→0时，G（x）→-∞，当x→-∞时，G（x）→+∞

当0＜x＜1时G'（x）＞0；

∴G（x）单调递增，且当x→0时，G（x）→-∞，

当x＞1时，G'（x）＜0；

∴G（x）单调递减，

∴当x=1时，G（x）的极大值G（1）=-

2

3

．

所以，当 m＜-

2

3

时，方程m=

3

2

lnx2-

1

3

x3-x2+

2

3

有三个不同的解．--------------（14分）