问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
x2+(a-3)x+lnx

(Ⅰ)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的最小值;
(Ⅱ)方程f(x)=(
1
2
-a)x2+(a-2)x+2lnx
.有两个不同的实数解,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在函数f(x)的图象上是否存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点的横坐标为x0,有f′(x0)=
y1-y2
x1-x2
成立?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由.
答案

(Ⅰ)f/(x)=x+a-3+

1
x
(x>0).(2分)

若函数f(x)在(0,+∞)上递增,

则f′(x)≥0对x>0恒成立,即a≥-(x+

1
x
)+3对x>0恒成立,

而当x>0时,-(x+

1
x
)+3≤-2+3=1.

∴a≥1.

若函数f(x)在(0,+∞)上递减,

则f′(x)≤0对x>0恒成立,即a≤-(x+

1
x
)+3对x>0恒成立,

这是不可能的.

综上,a≥1.

a的最小值为1.(6分)

(Ⅱ)由f(x)=(

1
2
-a)x2+(a-2)x+2lnx=0,

得:(a-

1
2
)x2+(2-a)x=2lnx,

即:a=

lnx+x
x2
,令r(x)=
lnx+x
x2
,r′(x)=
(
1
x
+1)x2-2x(lnx+x) 
x4
=
1-x-2lnx
x3

得1-x-2lnx=0的根为1,

所以当0<x<1时,r′(x)>0,则r(x)单调递增,

当x>1时,r′(x)<0,则r(x)单调递减,

所以r(x)在x=1处取到最大值r(1)=1,

又x→0时r(x)→0,又x→+∞时,r(x)→0,

所以要使y=

lnx+x
x2
与y=a有两个不同的交点,则有 0<a<1                                       …8分

(III)假设存在,不妨设0<x1<x2.k=

f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
1
2
x21
+(a-3)x1+lnx1-
1
2
x22
-(a-3)x2-lnx2
x1-x2
=x0+(a-3)+
ln
x1
x2
x1-x2
.(9分)

f/(x0)=x0+(a-3)+

1
x0

若k=f′(x0),则

ln
x1
x2
x1-x2
=
1
x0
,即
ln
x1
x2
x1-x2
=
2
x1+x2
,即ln
x1
x2
=
2
x1
x2
-2
x1
x2
+ 1
.(*)(12分)

t=

x1
x2
u(t)=lnt-
2t-2
t+1
(0<t<1),

u′(t)=

(t-1)2
t(t+1)2
>0.∴u(t)在0<t<1上是增函数,

∴u(t)<u(1)=0,

∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴k≠f′(x0).

因此,满足条件的x0不存在.(16分)

单项选择题
多项选择题