(Ⅰ)f/(x)=x+a-3+(x>0).(2分)
若函数f(x)在(0,+∞)上递增,
则f′(x)≥0对x>0恒成立,即a≥-(x+)+3对x>0恒成立,
而当x>0时,-(x+)+3≤-2+3=1.
∴a≥1.
若函数f(x)在(0,+∞)上递减,
则f′(x)≤0对x>0恒成立,即a≤-(x+)+3对x>0恒成立,
这是不可能的.
综上,a≥1.
a的最小值为1.(6分)
(Ⅱ)由f(x)=(-a)x2+(a-2)x+2lnx=0,
得:(a-)x2+(2-a)x=2lnx,
即:a=,令r(x)=,r′(x)==
得1-x-2lnx=0的根为1,
所以当0<x<1时,r′(x)>0,则r(x)单调递增,
当x>1时,r′(x)<0,则r(x)单调递减,
所以r(x)在x=1处取到最大值r(1)=1,
又x→0时r(x)→0,又x→+∞时,r(x)→0,
所以要使y=与y=a有两个不同的交点,则有 0<a<1 …8分
(III)假设存在,不妨设0<x1<x2.k==+(a-3)x1+lnx1--(a-3)x2-lnx2 |
x1-x2 |
=x0+(a-3)+.(9分)
f/(x0)=x0+(a-3)+.
若k=f′(x0),则=,即=,即ln=.(*)(12分)
令t=,u(t)=lnt-(0<t<1),
则u′(t)=>0.∴u(t)在0<t<1上是增函数,
∴u(t)<u(1)=0,
∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴k≠f′(x0).
因此,满足条件的x0不存在.(16分)