已知离心率为12的椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1

问题解答题

已知离心率为

的椭圆

=1(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分别是直线x=

上的两上动点，且

F1M

•

F2N

=0，|

|的最小值为2

．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过定点P（m，0）的直线交椭圆于B、E两点，A为B关于x轴的对称点（A、P、B不共线），问：直线AE是否会经过x轴上一定点，并求AE过椭圆焦点时m的值．

答案

（Ⅰ）由e=

得a=2c，于是

=4c，

设M（4c，y₁），N（4c，y₂），

因为

F1M

•

F2N

=0，所以15c²+y₁y₂=0，所以y₁y₂=-15c²＜0，

∴|

(y1-y2) 2

y12+y22-2y1y2

y12+y22+2|y1y2|

≥

4|y1y2|

60c2

，

∴

60c2

⇒c=1，a=2，b=

．

椭圆方程为

=1．

（Ⅱ）设PB方程为y=k（x-m），代入

得（4k²+3）x²-8k²mx+（4m²k²-12）=0，

设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则A（x₁，-y₁），

直线AE的方程为y-y₂=

y2+y1

x2-x1

（x-x₂），令y=0得x=

y2x1+x2y1

y1+y2

，

又y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m）代入上式得x=

2x1x2-m(x1+x2)

x1+x2-2m

，

而x₁+x₂=

8k2m

4k2+3

，x1x2=

4m2k2-12

4 k2+3

代入得x=

，

所以AE过轴上定点（

，0），

要使AE过椭圆焦点则

=±1．

所以m=±4．