证明：（1）①当n=1时，a₁=1，又8a₂=12+a₁²，a2=

∴1=a₁＜a₂＜2．

②假设n=k时，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，

当n=k+1时，有8a_k+2=12+a_k+1²＜12+2²=16，

∴a_k+2＜2成立，

由假设a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，

∴a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，

∴1≤a_k+1＜a_k+2＜2．

故由①，②知，对任意n∈N^*都有1≤a_n＜a_n+1＜2成立．

（2）由于an+1-an=

①当m＞16时，显然不可能使a_n＜4对任意n∈N^*成立，

②当m≤16时，a_n＜4对任意n∈N^*有可能成立，

当m=16时，a₁＜4，

假设a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．

所以m=16时，对任意n∈N^*都有a_n＜4成立，

所以m≤16时，a_n＜4，

故m的最大值是16．