问题 解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=
1
2
(3n+Sn)对一切正整数n成立
(1)求出:a1,a2,a3的值
(2)证明:数列{3+an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(3)设bn=
n
3
an,求数列{bn}的前n项和Bn;数列{an}中是否存在构成等差数列的四项?若存在求出一组;否则说明理由.
答案

(1)由an=

1
2
(3n+Sn)可得Sn=2an-3n,故an+1=Sn+1-Sn=2an+3

∵a1=

1
2
(3+S1),∴a1=3,∴a2=9,a3=21;

(2)证明:由待定系数法得an+1+3=2(an+3)

又a1+3=6≠0

∴数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列.

∴an+3=6×2n-1

∴an=3(2n-1).

(3)由(2)可得bn=n2n-n,

∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n-(1+2+3+…+n)   ①

∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1-2(1+2+3+…+n)   ②

①-②得,-Bn=2+(22+23+…+2n)+

n(n+1)
2

化简可得Bn=2+(n-1)2n+1-

n(n+1)
2

假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为:am、an、ap、aq(m<n<p<q)

则3(2m-1)+3(2q-1)=3(2n-1)+3(2p-1)∴2m+2q=2n+2p

上式两边同除以2m,则1+2q-m=2n-m+2p-m

∵m、n、p、q∈N*,且m<n<p<q,

∴上式左边是奇数,右边是偶数,相矛盾.

∴数列{an}不存在构成等差数列的四项.

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