问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=
(1)求出:a1,a2,a3的值 (2)证明:数列{3+an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (3)设bn=
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答案
(1)由an=
(3n+Sn)可得Sn=2an-3n,故an+1=Sn+1-Sn=2an+31 2
∵a1=
(3+S1),∴a1=3,∴a2=9,a3=21;1 2
(2)证明:由待定系数法得an+1+3=2(an+3)
又a1+3=6≠0
∴数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列.
∴an+3=6×2n-1,
∴an=3(2n-1).
(3)由(2)可得bn=n2n-n,
∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n-(1+2+3+…+n) ①
∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1-2(1+2+3+…+n) ②
①-②得,-Bn=2+(22+23+…+2n)+n(n+1) 2
化简可得Bn=2+(n-1)2n+1-n(n+1) 2
假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为:am、an、ap、aq(m<n<p<q)
则3(2m-1)+3(2q-1)=3(2n-1)+3(2p-1)∴2m+2q=2n+2p.
上式两边同除以2m,则1+2q-m=2n-m+2p-m
∵m、n、p、q∈N*,且m<n<p<q,
∴上式左边是奇数,右边是偶数,相矛盾.
∴数列{an}不存在构成等差数列的四项.