| 已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程； （Ⅲ）若n2＜3m，不等式F(
|
（Ⅰ）∵f（x）=x3+mx，∴f′（x）=3x2+m．
①当m≥0时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
②当m＜0时，若f′（x）＜0，则-
＜x＜-3m 3
．若f′（x）＞0，则x＜--3m 3
，或x＞-3m 3
，-3m 3
所以f（x）在（-
，-3m 3
）上是减函数，在（-∞，--3m 3
），（-3m 3
，+∞）上是增函数；-3m 3
（Ⅱ）∵F（x）=x3+mx+nx2+n2，在x=1处有极值10，
∴F′（x）=3x2+2nx+m．
∴
，∴F′(1)=0 F(1)=10
，3×12+2n×1+m=0 13+n×12+m×1+n2=10
∴m=-11，n=4．或m=3，n=-3．
当m=3，n=-3时，F′（x）=3（x-1）2≥0，函数F（x）在R上是增函数，所以F（x）在x=1处无极值，不合题意．
当m=-11，n=4时，F′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），
当-
＜x＜1时，F′（x）＜0；当x＞1时，F′（x）＞0．11 3
∴函数F（x）在x=1处取得极小值，符合题意．
∴m=-11，n=4．∴切线方程为11x+y-16=0．
（Ⅲ）∵F（x）=x3+mx+nx2+n2，
∴F′（x）=3x2+2nx+m．
∵n2＜3m，△=4（n2-3m）＜0，∴F′（x）＞0，
∴F（x）=x3+mx+nx2+n2在R上是增函数．
∵F（
）＞F（1+lnx x-1
）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜k x
对任意x∈（1，+∞）恒成立．x(1+lnx) x-1
设函数h（x）=
，则h′（x）=x(1+lnx) x-1
．x-lnx-2 (x-1)2
设m（x）=x-lnx-2，则m′（x）=1-
．1 x
∵x∈（1，+∞），m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上是增函数，
因为m（1）=-1，m（2）=-ln2，m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，所以∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0
所以x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，所以h（x）=
在（1，+∞）上递减，x(1+lnx) x-1
x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，所以h（x）=
在（x0，+∞）上递增，x(1+lnx) x-1
所以h（x）的最小值为h（x0）=
，x0(1+lnx0) x0-1
又因为m（x0）=x0-lnx0-2=0，所以h（x0）=x0，
因为x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，所以k＜h（x）min，
所以k≤3，整数k的最大值为3．
