问题
解答题
| 已知函数f（x）的图象与函数y=ax-1，（a＞1）的图象关于直线y=x对称，g（x）=loga（x2-3x+3）（a＞1）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若函数f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga
（3）设函数F（x）=af（x）-g（x）（a＞1），若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围． |
答案
（本题满分18分）
（文科）（1）由已知得 f（x）=loga（x+1）； （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上为单调递增函数，（6分）∴在区间[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga
，g(n)=loga(n+1)=logap m
；p n
即m+1=
，n+1=p m
，n＞m＞-1．∴m，n是方程x+1=p n p x
即方程x2+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的两个相异的解，（8分）
这等价于
，（10分） 解得-△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0 -
＞-11 2
＜p＜0为所求．（12分）1 4
另可转化为函数y=x2+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）图象与函数y=p的图象有两个交点问题，数形结合求得：-
＜p＜0．1 4
（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=
，(x＞-1)（14分）∵(x+1)+(x+1) x2-3x+3
-5≥27 x+1
-5，当且仅当x=7
-1时等号成立，∴7
=x+1 x2-3x+3
∈(0，1 (x+1)+
-57 x+1
]，（16分）∴F(x)max=F(2
+57 3
-1)=7
，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）max，所以w≥2
+57 3
为所求．（18分）2
+57 3