（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

，

∴-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，

即c=0；（或由定义域关于原点对称得c=0）

又f（1）=2，f（2）＜3，

∴

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

由①得a=2b-1代入②得

2b-3

2b

＜0，

∴0＜b＜

3

2

，又a，b，c是整数，得b=a=1．

（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，当x＜0，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减．下用定义证明之．

设x₁＜x₂≤-1，则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），

因为x₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，

故f（x）在（-∞，-1]上单调递增；

同理，可证f（x）在[-1，0）上单调递减．

（3）∵f（x）=x+

1

x

为奇函数，由（2）可知，f（x）在（-∞，-1]上单调递增，f（x）在[-1，0）上单调递减，

∴f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴当x＞0时，求函数f（x）的最小值为f（1）=1+1=2．