问题
解答题
定义在R上的函数f（x）满足
①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求f（0）值；
（2）判断函数f（x）奇偶性；
（3）判断函数f（x）的单调性；
（4）解不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8．
答案
∵对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
（2）取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数
（3）任取x1＜x2，
则 x2-x1＞0
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
又∵当x＞0时，f（x）＜0，
f（x2）-f（x1）＜0，
可得 f（x1）＞f（x2），
所以f（x） 在R上是减函数
（4）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（4）=f（2）+f（2）=-8
∴不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8
可化为f（x2-2x）-f（x）≥f（4）
即f（x2-2x）≥f（x）+f（4）
即x2-2x≤x+4
即x2-3x-4≤0
解得-1≤x≤4
故不等式f（x2-2x）-f（x）≥-8的解集为[-1，4]