问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上． （1）求an的表达式； （2）设An为数列{
（3）将数列{an}依次按1项，2项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4），（a5，a6），（a7），（a8，a9），（a10）， …，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b100的值； （4）如果将数列{an}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ |
答案
（1）∵点（n，Sn）在函数f（x）=x2+x的图象上，
∴Sn=n2+n．
a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n（n=1时也成立）．
∴an=2n（n∈N*）．
（2）An=
+1 (a1-1)(a1+1)
+…+1 (a2-1)(a2+1) 1 (an-1)(an+1)
=
+1 1•3
+…+1 3•5
=1 (2n-1)(2n+1)
(1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
)=1 2n+1
(1-1 2
)＜1 2n+1
．1 2
依题意，只要a≥
即可，故a的取值范围是[1 2
，+∞)．1 2
（3）数列{an}依次按1项，2项循环地分为（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有2个括号，故b100是第50组中第2个括号内各数之和．
由分组规律知，b2，b4，b6，…，b100，…组成一个首项b2=4+6=10，公差d=12
的等差数列．
所以b100=10+（50-1）×12=598．
（4）当n是4的整数倍时，求bn的值．
数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12）；（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…
第4组，第8组，…，第4k（k∈N*）组的第1个数，第2个 数，…，第4个数分别组成一个等差数列，
其首项分别为14，16，18，20．公差均为20．
则第4组，第8组，…，第4k组的各数之和也组成一个等差数列，
其公差为80．
且b4=14+16+18+20=68．
当n=4k时，bn=68+80（k-1）=20n-12．