（1）在椭圆中，由已知得c2=a2-b2=

a2+b2

2

（1分）

过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，该直线与原点的距离为

3

2

，

由点到直线的距离公式得：

ab

a2+b2

=

3

2

（3分）

解得：a²=3，b²=1，

所以椭圆方程为

x2

3

+y2=1（4分）

（2）F1(-

2

，0)，直线F₁A₁的方程为y=

2

x+2，|F1A1|=

6

，

当椭圆上的点P到直线F₁A₁距离最大时，△F₁PA₁面积取得最大值（6分）

设与直线F₁A₁平行的直线方程为y=

2

x+d，将其代入椭圆方程

x2

3

+

y2

1

=1得：

7

3

x2+2d

2

x+d2-1=0，△=0，即8d2-

28

3

d2+

28

3

=0，解得d²=7，

所以当d=-

7

时，椭圆上的点P到直线F₁A₁距离最大为

2+ 7

3

，此时△F₁PA₁面积为

1

2

6

2+ 7

3

=

2 2 + 14

2

（9分）

（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，

由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

（11分）

设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则x1+x2=-

6kt

1+3k2

，x1•x2=

3(t2-1)

1+3k2

，

因为以CD为直径的圆过E点，所以

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，（13分）

而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，

所以(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

（14分）

如果k2＞

t2-1

3

对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．

所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）