已知数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n≥2，n∈N*），且a3=39

问题解答题

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
（1）求a₁，a₂．
（2）是否存在实数λ，使得数列{

an+λ

}为等差数列；若存在，求出λ的值．
（3）令c_n=

an+1

n+1

，若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）由于数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，

则a₃=2a₂+2³+1，a₂=2a₁+2²+1，故a₂=15，a₁=5；

（2）若存在实数λ，使得数列{

an+λ

}为等差数列，

则

a1+λ

，

a2+λ

，

a3+λ

也为等差数列，

故2×

a2+λ

a1+λ

a3+λ

解得λ=1，

由于

an+1+1

2n+1

an+1

2an+2n+1+2

2n+1

an+1

所以数列{

an+1

}为等差数列，首项为

a1+1

=3，

故当λ=1时，数列{

an+λ

}为等差数列；

（3）由（2）知，

an+1

=3+(n-1)•1=n+2

若令c_n=

an+1

n+1

，则c_n=

n+2

n+1

•2n

由于c_n≥c_n+1等价于

n+2

n+1

•2n≥

n+1+2

n+1+1

•2n+1=

n+3

n+2

•2n+1

即n²+4n+2=（n+2）²-2≤0无解，故恒有c_n≥c_n-1

若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，则必有

a1+1

1+1

=3=c₁＞m

则实数m的取值范围为m＜3．