问题
解答题
| 设Tn为数列{an}的前n项乘积，满足Tn=1-an(n∈N*) （1）设bn=
（2）设cn=2n•bn，求证数列{cn}的前n项和Sn； （3）设An=
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答案
（1）∵Tn=1-an，an=
，n≥2，Tn Tn-1
∴Tn=1-
，从而Tn Tn-1
-1 Tn
=1，（n≥2）1 Tn-1
∴bn-bn-1=1，（n≥2）
∵T1=a1=1-a1，
∴a1=
，b1=1 2
=1 T1
=2，1 a1
∴{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知bn=2+（n-1）=n+1，从而cn=（n+1）•2n，
∴Sn=2•2+3•22+…+（n+1）•2n，
2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，
两式相减，得-Sn=4+（22+23+…+2n）-（n+1）•2n+1
=4+
-（n+1）•2n+14(1-2n-1) 1-2
=-n•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
（3）∵Tn=
=1 bn
，1 n+1
∴n≥2时，an=
=Tn Tn-1
，n n+1
∵a1=
，∴an=1 2
，n∈N* ，n n+1
An=T12+T22+…+Tn2
=
+1 22
+…+1 32 1 (n+1)2
＞
+1 2×3
+…+1 3×4 1 (n+1)(n+2)
=
-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 4
-1 n+1 1 n+2
=
-1 2 1 n+2
=an+1-
，1 2
∴An＞an+1-
，1 2
又∵当n≥2时，An=T12+T22+…+Tn2
=
+1 22
+…+1 32 1 (n+1)2
=
+1 22
+…+1 32
＜1 (n+1)2
+1 22
+1 2×3
+…+1 3×4 1 n(n+1)
=
+1 22
-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 4
-1 n 1 n+1
=
+1 4
-1 2
=an-1 n+1
，1 4
an+1-
＜An≤-1 2
．1 4