问题
解答题
| 将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论： ①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称． ②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）． 利用上述结论完成下列各题： （1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明． （2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=
（3）若函数f(x)=(x-
|
答案
（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(
，0)（k∈N*）． …（2分）kπ 2
当k=2n（n∈N*）时，tan(
+x)+tan(kπ 2
-x)=tanx-tanx=0；kπ 2
当k=2n+1（n∈N*）时，tan(
+x)+tan(kπ 2
-x)=-cotx+cotx=0，得证． …（6分）kπ 2
（2）由f(x)=
=1+x+m x-1
，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=m+1 x-1
+x+1+m x+1-1
=1-x+m 1-x-1
+x+1+m x
=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=-x+1+m -x
的图象关于点（1，1）成中心对称． …（12分）x+m x-1
（3）由结论②F(x)=f(x+
)-f(2 3
)=x(|x+2 3
+t|+|x-2 3
|)为奇函数，…（14分）7 3
其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+
+t|+|x-2 3
|为偶函数7 3
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+
+t|+|x-2 3
|=|x-(7 3
+t)|+|x+2 3
|，…（16分）7 3
因此，
+t=2 3
，解得t=7 3
为所求． …（18分）5 3
