（Ⅰ）将y=f（x+1）的图象向右平移1个单位，得到y=f（x）的图象，

所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，

所以f（x）=a₁x³+a₃x，由题意，得

f′(-1)=3a1+a3=0 f(-1)=-a1-a3= 2 3

⇒

a1= 1 3 a3=-1.

所以f(x)=

1

3

x3-x．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x²-1，

假设存在两切点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))  (x1，x2∈[-

2

，

2

])，

则f'（x₁）•f'（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1．因为（x₁²-1）、（x₂²-1）∈[-1，1]

所以

x 21 -1=-1 x 22 -1=1

或

x 21 -1=1 x 22 -1=-1.

即

x1=0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2=0

从而可得所求两点的坐标分别为(0，0)，(

2

，-

2

3

)或(0，0)，(-

2

，

2

3

)．

（Ⅲ）因为当x∈[

1

2

，1)时，f'（x）＜0，所以f（x）在[

1

2

，1)递减．

由已知得xn∈[

1

2

，1)，

所以f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]．

注意到x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜1时，f′（x）＜0，

故f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，

由于y_m=

2

3m

-

2

，

所以ym∈(-

2

，-

2 2

3

]．

因为-

2

＜-1＜-

2 2

3

，

所以f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，

即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]．

所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．