问题 选择题

已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-2,0),F2(2,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,则e1+e2取值范围为(  )

A.(2,+∞)

B.(4,+∞)

C.(4,+∞)

D.(2,+∞)

答案

设椭圆的长轴为2a,短轴为2b;双曲线的实轴为2a',虚轴为2b'

∵椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,

b′
a′
=
b
c
,平方可得
b2
a2
=
b2
c2

由此得到

a2+b2
a2
=
c2+b2
c2
,即
c2
a2
=
a 2
c2

也即(

c
a′
)2=(
a
c
)2,可得e1•e2=1

∵e1、e2都是正数,∴e1+e2≥2

e1e2
=2,且等号不能成立

因此e1+e2取值范围为(2,+∞)

故选:D

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题