问题
选择题
已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(-2,0),F2(2,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1,e2,则e1+e2取值范围为( )
A.(2,+∞)
B.(4,+∞)
C.(4,+∞)
D.(2,+∞)
答案
设椭圆的长轴为2a,短轴为2b;双曲线的实轴为2a',虚轴为2b'
∵椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,
∴
=b′ a′
,平方可得b c
=b′2 a′2 b2 c2
由此得到
=a′2+b′2 a′2
,即c2+b2 c2
=c2 a′2
,a 2 c2
也即(
)2=(c a′
)2,可得e1•e2=1a c
∵e1、e2都是正数,∴e1+e2≥2
=2,且等号不能成立e1e2
因此e1+e2取值范围为(2,+∞)
故选:D