（理）（1）f(x)=-2

3

(

1+cos2ωx

2

)+sin2ωx+1+

3

----（2分）

=sin2ωx-

3

cos2ωx+1=2sin(2ωx-

π

3

)+1-------（3分）

由题设可得，

2π

2ω

=π，所以ω=1．---------------------------（4分）

（2）由（1）得 f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，由题意

则有 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）------------（7分）

即  kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）

故 单调增区间为[ ，（k∈Z）----（10分）

（3）∵f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)．又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，------------------------------------------（11分）

即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，----------------------------------（13分）

∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．∵|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]，---------------------（14分）

∴m＞f（x）_max-2，m＜f（x）_min+2，∴1＜m＜4，

即m的取值范围是（1，4）．---------------------------------------（16分）