问题
解答题
已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足ynlogxna=2(a＞0，a≠1)，设y3=18，y6=12．
（1）求数列{yn}的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；
（3）令an=logxnxn+1(n＞13，n∈N)，试判断数列{an}的增减性？
答案
（1）由已知得：yn=2logaxn设等比数列{xn}的公比为q（q≠1）
由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga
=2logaq得{yn}为等差数列，设公差为dxn+1 xn
∵y3=18，y6=12，∴d=-2；∴yn=y3+（n-3）d=24-2n
设前k项为最大，则
⇒11≤k≤12y12=0yk+1≤0 yk≥0
∴前11项和前12项和为最大，其和为132
（2）xn=a12-n，n∈N*；若xn＞1，则a12-n＞1
当a＞1时，n＜12，显然不成立；当0＜a＜1时，n＞12
∴存在M=12，13，14，…，当n＞M时，xn＞1
（3）an=logxnxn+1=lo
a12-(n+1)=g 12-na n-11 n-12
∵an+1-an=
-n-10 n-11
=n-11 n-12
＜0-1 (n-11)(n-12)
∴an+1＜an∴n＞13时数列{an}为递减数列
