问题
解答题
已知函数f（x）=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α，g（x）=f'（x），且对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若对任意的m∈[-26，6]，恒有f（x）≥x2-mx-11，求x的取值范围．
答案
（1）g（x）=f'（x）=3x2-18xcosα+48cosβ
对任意的实数t，1+cost∈[0，2]，3+sint∈[2，4]．
对任意的实数t有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
即对任意的实数x∈[0，2]有g（x）≥0，x∈[2，4]时有g（x）≤0
∴
即g(0)＞0 g(2)=0 g(4)≤0
，解得3cosα-4cosβ=1 cosβ＞0 4-6cosα+4cosβ≤0 cosα=1 cosβ= 1 2
所以f（x）=x3-9x2+24x
（2）令g（m）=f（x）-x2+mx+11=xm+x3-10x2+24x+11
由题意只要
即g(-26)≥0 g(6)≥0
，解得x3-10x2-2x+11≥0 x3-10x2+30x+11≥0
≤x≤1或x≥9-5 5 2 9+5 5 2