问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）． （1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[
（3）当a=2时，设函数g(x)=(ρ-2)x+
|
答案
f′(x)=
-a(x＞0)a x
（1）当a=1时，f′(x)=
-1=1 x 1-x x
令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；
令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=
+2，-2 x
g(x)=x3+x2[
+2-m 2
]=x3+(2 x
+2)x2-2x，g′（x）=3x2+（4+m）x-2，m 2
因为对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[
+f′(x)]在区间（t，3）上，m 2
总存在极值，所以只需
，解得-g′(2)＜0 g′(3)＞0
＜m＜-937 3
（3）设F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-
F′(x)=p+2 x
-p+2 x
=p+2 x2
=-px2+2x+(p+2) x2 -p(x+1)(x-
)p+2 p x2
当ρ=-1时，F′(x)=
＞0，∴F(x)在[1，2]递增，所以F（1）=4＞0成立；2x+2 x2
1+
＜-1，即-1＜p＜0时，不成立，（舍）2 p
-1＜1+
≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得ρ≤-12 p
所以，此时ρ＜-1和ρ=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；ρ＞-1时，均不成立．
综上，ρ≤-1