问题 填空题

已知m、n是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根,那么m2+n2的最小值是______.

答案

∵△=(2a)2-4(a2+4a-2)≥0,

a≤

1
2

又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2,

∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=2(a-2)2-4,

根据二次函数的性质,a<2时,函数值随a的增大而减小,

∴当a=

1
2
时,m2+n2的值最小,

此时

x21
+
x22
=2(
1
2
-2)2-4=
1
2
,即最小值为
1
2

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