在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关

问题解答题

在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是关于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的两个实数根．

（1）求k的值；

（2）若c=10，且a＞b，求a、b．

答案

（1）在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴tanA•tanB=1．

∴tanA•tanB=12k²-37k+26=1，

即12k²-37k+25=0，可得：k₁=

，k₂=1．

又当k=1时，原方程为x²-x+1=0，其判别式△＜0，舍去．

∴k=

．

（2）当k=

时，原方程为：x2-

x+1=0．

又tanA+tanB=

，∴

a2+b2

，

∴a²+b²=c²=100．∴ab=48 ①

而a²+b²=（a+b）²-2ab=100，且a+b＞0．

∴a+b=14．②

由①②得：

a=8

b=6

或者

a=6

b=8

，

又a＞b，

则a=8，b=6．