问题
解答题
已知函数f(x)=
（I）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围． |
答案
（I）∵f(x)=
-ex x2+x+1
∴f′(x)=3e2 49 ex(x2-x) (x2+x+1)2
由f′(x)=
＞0，解得x＜0或x＞1ex(x2-x) (x2+x+1)2
由f′(x)=
＜0，解得0＜x＜1ex(x2-x) (x2+x+1)2
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，0）和（1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即h(x)=
-ex x2+x+1
-ax≥0在x∈[2，+∞）上恒成立3e2 49
首先h(2)=
-e2 7
-2a≥0，即a≤3e2 49 2e2 49
其次，h′(x)=
-a考虑M(x)=ex(x2-x) (x2+x+1)2 ex(x2-x) (x2+x+1)2
∵M′(x)=
＞0在x∈[2，+∞）上恒成立ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1] (x2+x+1)4
∴M(x)≥M(2)=
∴当a≤2e2 49
时，h′(x)=2e2 49
-a≥ex(x2-x) (x2+x+1)2
-a≥02e2 49
∴h（x）在x∈[2，+∞）上递增，又h（2）≥0
∴h(x)=
-ex x2+x+1
-ax≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，故a≤3e2 49 2e2 49
∴原题的结论为：a＞2e2 49