问题
解答题
已知A（1，f'（1））是函数y=f（x）的导函数图象上的一点，点B为（x，ln（x+1）），向量
（1）求函数y=f（x）的表达式； （2）若x＞0，证明：f(x)＞
（3）若x∈[-1，1]时，不等式
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答案
（1）∵A（1，f'（1）），B（x，ln（x+1）），∴
=(x-1，ln(x+1)-f′(1))AB
∴f（x）=ln（x+1）+x-f'（1）-1，∴f′(x)=
+1，∴f′(1)=1 x+1
∴f(x)=ln(x+1)+x-3 2 5 2
（2）设g(x)=f(x)-
=ln(x+1)-2x2+3x-10 2(x+2)
∴g′(x)=2x x+2
-1 x+1
=4 (x+2)2
＞0x2 (x+1)(x+2)2
在（0，+∞）上是增函数，又∵g（0）=0∴g（x）＞0，∴f(x)＞2x2+3x-10 2(x+2)
（3）由
x2≤f(x2)+m2-1 2
m-3得m2-9 2
m-9 2
≥-ln(x2+1)-11 2 x2 2
设h(x)=-ln(x2+1)-
，∴h′(x)=-x2 2
∴当x∈[-1，0]时，h'（x）＞0，h（x）为递增；x(x2+3) x2+1
当x∈[0，1]时，h'（x）＜0，h（x）为递减
∴h（x）max=h（0）=0，∴m2-
m-9 2
≥0，解得m≤-1或m≥11 2 11 2
∴实数m的取值范围是m≤-1或m≥11 2