（1）f′（x）=3x²-4ax+1，

∵f（x）在（1，+∞）上为增函数，

∴f′（x）=3x²-4ax+1≥0（x＞1）恒成立，即a≤

3x

4

+

1

4x

（x＞1）恒成立．

令h（x）=

3x

4

+

1

4x

，得h′(x)=

1

4

(3-

1

x2

)＞

1

4

(3-1)＞0（x＞1），

∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=

3

4

+

1

4

=1，

∴a≤1，故实数a的最大值为1．

（Ⅱ）由题意知x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，即a≤

x2+1

2x+1

（x＞0）恒成立，

令r（x）=

x2+1

2x+1

（x＞0），则r′(x)=

2(x2+x-1)

(2x+1)2

，由r′（x）＜0得0＜x＜

5 -1

2

；由r′（x）＞0得x＞

5 -1

2

，

∴r（x）在（0，

5 -1

2

）上单调递减，在(

5 -1

2

，+∞)上单调递增，∴r(x)min=r(

5 -1

2

)=

5 -1

2

．

∴a≤

5 -1

2

，

故a的取值范围为(-∞，

5 -1

2

)．