（1）令x₁=x₂=0⇒f（x₀）=-f（0）．又令x₁=1，x₂=0，f（1）=-f（0）．

∴f（x₀）=f（1），由函数f（x）单调性知，x₀=1．

（2）由（1）知，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1，

由x₁，x₂的任意性，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，

∴f（n）=2n-1．（n∈N^*）．

∴an=

1

2n-1

．

又∵f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)+f(1)⇒f(

1

2

)=0⇒b1=f(

1

2

)+1=1．

又∵f(

1

2n

)=f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n+1

)+1，

∴2bn+1=2f(

1

2n+1

)+2=f(

1

2n

)+1=bn．

∴bn=(

1

2

)n-1．

由数列求和方法知：Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)，Tn=

2

3

[1-(

1

4

)n]．∴

4

3

Sn-Tn=

2

3

[(

1

4

)n-

1

2n+1

]．

∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n⁰≥3n+1＞2n+1，∴

4

3

Sn＜Tn．

（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n⇒F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

＞0（通分易证）∴当n≥2时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=a3+a4=

12

35

．

∴

12

35

＞

4

35

[log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)+1]⇒log

1

2

(x+1)-log

1

2

(9x2-1)＜2．

解此不等式，所以x的取值范围为(-

5

9

，-

1

3

)∪(

1

3

，1)．