设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1和F2，长轴是A1A2

问题选择题

设椭圆

=1（a＞b＞0）的两个焦点是F₁和F₂，长轴是A₁A₂，P是椭圆上异于A₁、A₂的点，考虑如下四个命题：
①|PF₁|-|A₁F₁|=|A₁F₂|-|PF₂|；
②a-c＜|PF₁|＜a+c；
③若b越接近于a，则离心率越接近于1；
④直线PA₁与PA₂的斜率之积等于-

．
其中正确的命题是（　　）

A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①④

答案

①由椭圆的定义和性质可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，|A₁F₁|+|A₁F₂|=a-c+a+c=2a，

∴|A₁F₁|+|A₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，∴|PF₁|-|A₁F₁|=|A₁F₂|-|PF₂|，因此正确；

②∵|A₁F₁|＜|PF₁|＜|AF₂|，∴a-c＜|PF₁|＜a+c，因此正确；

③由离心率计算公式e=

可知：b越接近于a，则离心率越接近于0，因此③不正确；

④设P（x，y）（x≠±a），由

=1可得y2=b2(1-

(a2-x2)，

则kPA1•kPA2=

y-0

x+a

•

y-0

x-a

x2-a2

(a2-x2)

x2-a2

，因此④正确．

综上可知：正确的是①、②、④．

故选：A．