（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，

∴x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k，

∵x＞1，∴当k≤1时，f′(x)=

1

x-1

-k＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；

当k＞0时，f（x）在（1，1+

1

k

）上是增函数，在（1+

1

k

，+∞）上为减函数．

（2）∵f（x）≤0恒成立，

∴∀x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，

∴∀x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，

∴k＞0．

由（1）知，f（x）_max=f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0，

解得k≥1．

故实数k的取值范围是[1，+∞）．

（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，

即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．

取x=n²，则2lnn≤n²-1，

即

lnn

n+1

≤

n-1

2

，n≥2，

∴

1n2

3

+

1n3

4

+

1n4

5

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N*且n＞1）．