由前n项和S_n有最大值，可得数列{a_n}为递减数列，故①正确；

设等差数列数列{a_n}的公差为d，则有a₉+3a₁₁=4a₁+38d＜0，

化简可得2a₁+19d＜0，可得a₁＜-

19

2

d，

变形可得（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，

结合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正确；

又可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．

综上可得-9d＜a₁＜-

19

2

d．

令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n-1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0．

化简可得 a₁+

n-1

2

d＞0，且a₁+

n

2

d≤0．

即 n＜-

2a1

d

+1，且 n≥-

2a1

d

．

再由-9d＜a₁＜-

19

2

d，可得 18＜-

2a1

d

＜19，

∴19≤n≤19，

∴n=19，故④正确；

由二次函数的性质可得②错误

故选：D