问题 选择题

已知P是椭圆上一点,F是椭圆的一个焦点,则以线段PF为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是(  )

A.相离

B.内切

C.内含

D.可以内切,也可以内含

答案

设椭圆的方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),F、F'分别是椭圆的左右焦点,

作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2,如图所示.

设PF中点为M,连结PF',

∴OM是△PFF'的中位线,可得|OM|=

1
2
|PF'|,即两圆的圆心距为
1
2
|PF'|

根据椭圆定义,可得|PF|+|PF'|=2a,

∴圆心距|OM|=

1
2
|PF'|=
1
2
(2a-|PF|)=a-
1
2
|PF|,

即两圆的圆心距等于它们半径之差,

因此,以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2相内切.

故选:B

解答题
单项选择题