问题
选择题
已知P是椭圆上一点,F是椭圆的一个焦点,则以线段PF为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是( )
A.相离
B.内切
C.内含
D.可以内切,也可以内含
答案
设椭圆的方程为
+x2 a2
=1(a>b>0),F、F'分别是椭圆的左右焦点,y2 b2
作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2,如图所示.
设PF中点为M,连结PF',
∴OM是△PFF'的中位线,可得|OM|=
|PF'|,即两圆的圆心距为1 2
|PF'|1 2
根据椭圆定义,可得|PF|+|PF'|=2a,
∴圆心距|OM|=
|PF'|=1 2
(2a-|PF|)=a-1 2
|PF|,1 2
即两圆的圆心距等于它们半径之差,
因此,以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2相内切.
故选:B