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问题 解答题
已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+
π
4
)，数列{an}的首项a1=
1
2
，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意n∈[1，4]，an≤
37
16
(m2+m)都成立，求实数m的取值范围．
答案

（1）∵tan2α=

2tanα
1-tan2α
=
2(
2
-1)
1-(
2
-1)2
=1

又∵α为锐角

∴α=

π
8

∴sin(2α+

π
4
)=1

∴f（x）=x2+x．

（2）∵数列{an}的首项a1=

1
2
，an+1=f（an），

∴a2=

1
4
+
1
2
=
3
4
，

a3=

9
16
+
3
4
=
21
16
，

a4=

441
256
+
21
16
=
777
256
，

∵对任意n∈[1，4]，an≤

37
16
(m2+m)都成立，

∴

777
256
≤
37
16
(m2+m)，

解得m∈(-∞，-

7
4
]∪[
3
4
，+∞)．

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