（1）g（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0），则g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．

当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以，g（x）在x=1处取得最大值，且最大值为-1．     …（3分）

（2）由条件得

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立．

设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

．

当x∈（0，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，

所以，h（x）≤

1

e

．

要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．

另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，要使ax≤x²+1恒成立，

必须a≤2．

所以，满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]．            …（7分）