问题
解答题
定义在R上的函数f(x)=
（1）求a、b的值； （2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围． |
答案
（1）∵R上的函数f(x)=
（a，b∈R且a≠0）是奇函数x+b ax2+1
∴f（0）=0，解得b=0
∴f(x)=x ax2+1
∴f′（x）=
=ax2+1-x×2ax (ax2+1)2 -ax2+1 (ax2+1)2
∵当x=1时，f（x）取得最大值
∴f′（1）=
=0-a +1 (a+1)2
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=
，f′（x）=x x2+1 -x2+1 (x2+1)2
∴f′（x0）=-x02+1 (x02+1)2
∴曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l为：y-
=x0 x02+1
×(x-x0)-x02+1 (x02+1)2
令x=0，则y=
+x0 x02+1
×(0-x0)-x02+1 (x02+1)2
∴t=2x03 (x02+1)2
∴t′=2x02(x02+1)(3-x02) (x02+1)4
由t′＞0，可得3-x0 2＜0，解得-
＜x0＜3
；3
由t′＜0，可解得x0＜-
，x0＞3 3
∴函数在[-
，3
]上单调增，在（-∞，-3
），（3
，+∞）上单调减3
∵x0＞0，t＞0；x0＜0，t＜0
∴x0=-
时，tmin=-3
；x0=3 3 8
时，tmax=3 3 3 8
∴实数t的取值范围是[-
， 3 3 8
]．3 3 8