问题
解答题
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）若a＞0，g（x）=ax2-2x+5，若对任意实数x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范围．
答案
（I）由函数f（t）=|t+1|-|t-3|＞2可得
①
，或②t＜-1 (-t-1)-(3-t)＞2
，或③-1≤t＜3 (t+1)-(3-t)＞2
．t≥3 (t+1)-(t-3)＞2
解①得t∈∅，解②得 2＜t＜3，解③得 t≥3．
综上可得，不等式的解集为{t|t＞2}．
（II）∵a＞0，g（x）=ax2-2x+5，若对任意实数x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，
故有gmin（x）≥fmax（t）．
由题意可得，当x=
时，g（x）取得最小值为gmin（x）=1 a
．5a-1 a
而由绝对值的意义可得f（t）的最大值等于4，
∴
≥4，解得 a≥1，5a-1 a
故a的取值范围为[1，+∞）．