已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存

问题填空题

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的焦点分别为F₁，F₂，若该椭圆上存在一点P使得∠F₁PF₂=60°，则椭圆离心率的取值范围是______．

答案

如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可得：

∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，

∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，

∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，

所以P₀O≤

OF₂，即b≤

c，

∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，

∴

≥

，

∵0＜e＜1，

∴

≤e＜1．

故答案为：

≤e＜1．