问题
解答题
设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)
答案
{lgan}的前5项和最大
解法一: 设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有
化简得
.
设数列{lgan}前n项和为Sn,则
Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)
=nlga1+
n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3
=(－
)·n2+(2lg2+
lg3)·n
可见，当n=
时，Sn最大.
而
=5,故{lgan}的前5项和最大.
解法二: 接前，
,于是lgan=lg［108(
)n－1］=lg108+(n－1)lg,
∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，
令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,
∴n≤
=5.5.
由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.