此函数的定义域是R

当x≥0时，有f（x）+f（-x）=1-2^-x+2^-x-1=0

当x＜0时，有f（x）+f（-x）=1-2^x+2^x-1=0

由上证知，此函数是一个奇函数，

又x≥0时，函数1-2^-x是一个增函数，最小值是0；x≤0时，函数2^x-1是一个增函数，最大值为0，

所以函数函数f(x)=

1-2-x，x≥0 2x-1，x＜0

在定义域上是增函数

综上，函数f(x)=

1-2-x，x≥0 2x-1，x＜0

在定义域上是增函数，且是奇函数

故选C