问题
解答题
【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x2-3x+3恒成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．
（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x1，x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案
（1）由x-1=x2-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此
，a-b+c=0 4a+2b+c=1
故b=
-a，c=1 3
-2a．由x-1≤f（x）1 3
得ax2-（
+a）x+2 3
-2a≥0对x∈R恒成立，4 3
故△=（
+a）2-4a（2 3
-2a）≤0，4 3
即9a2-4a+
≤0，4 9
解得a=
，2 9
故f（x）=
x2+2 9
-x 9 1 9
（2）由
x2+2 9
-x 9
≤nx-11 9
得2x2+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）2-64≥0，
解得n≤-
或n≥1，从而A=（-∞，-]7 9
∪[1，+∞）7 9
（3）显然|x1-x2|≥0，当且仅当n=-
或n=1时取得等号，7 9
故m2+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m•t+（m2+1），
则有
，g(-3)=m2-3m+1≤0 g(3)=m2+3m+1≤0
即
，
≤m≤3- 5 2 3+ 5 2
≤ m≤-3- 5 2 -3+ 5 2
故m∈∅，不存在这样的实数m