问题
解答题
设等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a3=12，S12>0，S13<0．
(Ⅰ)求公差d的取值范围．
(Ⅱ)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
答案
本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力．
(Ⅰ)解：依题意，有
，
① ② |
由a3=12，得a1=12－2d． ③将③式分别代①、②式，得
，
<d<－3
(Ⅱ)解法一：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
由于 S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，即 a6+a7>0，a7<0，此得a6>－a7>0．
因为a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
(Ⅱ)解法二：
＝
．
∵ d<0，∴
最小时，Sn最大．
当 <d<－3时 
，
∵正整数n=6时最小，∴S6最大．
(Ⅲ)解法三：由d<0可知 a1>a2>a3>…>a12>a13．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1<0，
则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．