已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1, (1) 写出a1, a2, a3,并

问题解答题

已知数列{a_n}满足S_n＋a_n＝2n＋1, (1) 写出a₁, a₂, a₃,并推测a_n的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

答案

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝,

猜测 a_n＝2－

(2)证明： ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即 a_k＝2－,

当n＝k＋1时, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k_＋1＋a_k_＋1＝2(k＋1)＋1,

且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k

∴2k＋1－a_k＋2a_k_＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2a_k_＋1＝2＋2－, a_k_＋1＝2－, 即当n＝k＋1时,命题成立.

综合(1),(2)可知：对于任意正整数n,都有